Twierdzenie zbieżny ma tylko jedną przeciwnie, ciąg nieskończony an będzie zbieżny do dwóch granic a i b (a≠b). Weźmy Ƹ = > |a-b|, (zauważ Ƹ>0). Zgodnie z definicją granicy ciągu większość wyrazów ciągu leży w przedziale (a- Ƹ, a+ Ƹ) oraz (b- Ƹ, b+ Ƹ), ale to jest niemożliwe bo przedziały wcześniej podane są rozłączne. Uzyskaliśmy sprzeczność, co udowodniło, że ciąg zbieżny ma tylko jedną twierdzenia dotyczą liczenia nieskończony ciąg an jest ciągiem stałym i an=a, to ciąg an jest zbieżny i Twierdzenie i an≥ 0 dla każdej liczby n, to .Przykład że i Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej n dla każdej liczby naturalnej dodatniej n Na podstawie twierdzenia 3 mamy: Twierdzenie |q|0, to ciąg nieskończony an o wyrazie ogólnym an=, n>1, jest zbieżny i Twierdzenie 7. (o trzech ciągach)Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone an, bn, cn, oraz istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest nierówność , to .Przykład granicę Dla każdej liczby naturalnej dodatniej poniższa nierówność jest prawdziwa:,Czyli Ponadto Zatem na mocy twierdzenia 7:Zadania o zrobienia 1. Wyznacz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = 4 b) an = 3 + Odp. a) 12 b) 32. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = Odp. a) b) 3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = c) an = Odp. a) 1 b) -7 c) -1

Tłumaczenie hasła "granica ciągu" na angielski . limit of a sequence, limit of a sequence to najczęstsze tłumaczenia "granica ciągu" na angielski. Przykładowe przetłumaczone zdanie: Naturalne stanowi tedy granicę ciągu prac, które je „sztucznie” powtarzają i modyfikują. ↔ The natural thus represents the limit of the series of works that “artificially” repeat or modify it.

Policz znaki w Excelu (spis treści)Policz znaki w ExceluJak liczyć znaki w programie Excel?Policz znaki w Excelu Liczenie znaków w programie Excel jest powszechnie stosowaną metodą w programie Excel, może to wynikać z tego, że mamy pewne granice w programie Excel lub użytkownik może mieć ograniczenie, że niektóre znaki należy wprowadzać tylko w komórkach. Właśnie dlatego musimy zrozumieć, jak policzyć liczbę znaków w komórce. W programie Excel możemy liczyć znaki, korzystając z wbudowanej funkcji programu Excel o nazwie LEN (długość)Funkcja LEN jest wbudowaną funkcją programu Excel, która jest sklasyfikowana jako Ciąg lub tekst. Ta funkcja LEN zwykle służy do zliczania znaków, które zwracają liczbę znaków w ciągu tekstowym. tj. długość określonego funkcji LEN:Tekst: służy do obliczania liczyć znaki w programie Excel? W poniższych przykładach zobaczymy, jak liczyć znaki w programie pobrać szablon Count-Characters-Excel tutaj - Count-Characters-Excel-Template Przykład # 1 - Korzystanie z funkcji LEN Rozważ prosty przykład, w którym mamy listę nazw, w której musimy policzyć liczbę znaków w każdej komórce, która jest pokazana jak korzystać z funkcji LEN, wykonując poniższe użyć funkcji, najpierw wprowadź formułę= LEN (tekst) pokazany na poniższym zrzucie argumentu jest niczym innym jak odpowiednimi danymi, które musimy liczyćW naszym przykładzie zastosuj wzór jako = LEN (A1)Naciśnij klawisz Enter, aby dane wyjściowe były wyświetlane w następujący widać na powyższym zrzucie ekranu, otrzymaliśmy wynik jako „4”.Przeciągnij formułę do wszystkich komórek, aby uzyskać długość określonego ciągu, który pokazano powyższym zrzucie ekranu widać, że dla imienia „JOHN” otrzymaliśmy wynik jako 4, a dla drugiego imienia „Martin Chapel” otrzymaliśmy wynik jako 13. Możemy się zastanawiać, dlaczego otrzymaliśmy wynik jako 13, jeśli sprawdzimy ręcznie jest tylko 12 słów, ale otrzymaliśmy wynik jako 13, ponieważ funkcja LEN liczy również spacje, z tego powodu otrzymaliśmy wynik jako # 2 - Używanie łańcucha i liczb W powyższym przykładzie widzieliśmy, jak liczyć postać za pomocą LEN tylko z String. Teraz w tym przykładzie zobaczymy, jak policzyć znak za pomocą kombinacji zarówno łańcucha, jak i liczb, co pokazano powyższym zrzucie ekranu widzimy, że nieprzetworzone dane zawierają nazwy wraz z liczbami i łańcuchem oraz kombinacją zarówno łańcucha i liczb. Zobaczmy, jak działa funkcja LEN, wykonując poniższą utwórz nową kolumnę jako wynik. Użyj funkcji Len jako = LEN (komórka)W tym przykładzie zastosuj funkcję LEN jako = LEN (A2), aby zwróciła liczbę znaków jako 4, jak pokazano na poniższym zrzucie przeciągnij formułę w dół dla wszystkich komórek. Funkcja LEN liczy nie tylko znaki, ale także liczby i zwraca dokładną powyższym zrzucie ekranu widzimy, że funkcja LEN zwróciła dokładną liczbę dla wszystkich zestawów serii, jak widzimy w 2 rzędzie mamy numeryczną „332-56”, więc funkcja LEN zlicza każdy tekst i zwraca wynik jako „6” i jednocześnie możemy zobaczyć kombinację zarówno ciągu, jak i liczb w komórce „A5”. Również tutaj funkcja LEN zwróciła dokładną liczbę zarówno łańcuchów, jak i # 3 - Korzystanie z wielu funkcji LEN W tym przykładzie zobaczymy, jak używać wielu funkcji LEN do liczenia operatorów arytmetycznych. Rozważ poniższy przykład, który ma kombinację łańcucha i operatora powyższym przykładzie widzimy, że utworzono dwie kolumny, z których jedna służy do zliczania liczby tekstu, a inna kolumna ma zliczać tylko operator arytmetyczny. Aby rozróżnić liczbę zarówno tekstu, jak i operatorów, będziemy pracować w tym przykładzieJak widzieliśmy w powyższym przykładzie funkcja LEN powraca i zlicza znaki wraz ze spacjami. Najpierw zastosujmy tę samą formułę w kolumnie B, która jest pokazana zrzut ekranu pokazuje liczbę znaków, które zastosowaliśmy za pomocą funkcji LEN. Załóżmy, że musimy liczyć tylko operatory arytmetyczne. W takich przypadkach nie możemy zastosować funkcji LEN, ponieważ funkcja LEN policzy cały tekst łącznie ze spacjami i zwróci liczbę zliczeń dla określonych danych. Aby dowiedzieć się, ilu operatorów znajduje się w określonej komórce, wykonaj poniższą proceduręRozważ poniższy przykład, który pokazano użyj funkcji LEN. W kolumnie C wstaw funkcję LEN jak poniżej.= LEN (A2) -LEN (SUBSTITUTE (A2, ”*”, ””))W tej formule LEN użyliśmy funkcji SUBSTITUTE, która zastępuje tekst nowym tekstem w ciągu tekstowymNajpierw użyliśmy funkcji LEN, która zlicza znaki - LEN (SUBSTITUTE (OLD TEXT, NEW TEXT), tzn. Stary tekst jest niczym innym jak komórką A2, a nowy tekst to „*”, aby zastąpił tekst nowym ciągiem co podaliśmy we wzorze i zwraca wynik jako 2, co pokazano przeciągnij formułę w dół, określając nowy otrzymamy następujący jest jak # 4 - Funkcja LEN i SUBSTITUTE W tym przykładzie zobaczymy, jak liczyć określone znaki za pomocą tej samej funkcji LEN i SUBSTITUTE. Rozważ poniższy przykład, który zawiera zdanie „Amazon Big Billion Days Started. Czas na zakupy online ”Na powyższym zrzucie ekranu użyliśmy funkcji LEN do zliczenia liczby znaków. Dokładną liczbę znaków otrzymaliśmy jako 53. Załóżmy, że musimy policzyć, ile „o” jest w użyć tej samej formuły LEN i SUBSTITUTE, aby znaleźć dokładną liczbę, wykonując poniższe krokiKliknij konkretną formułę funkcji LEN jak poniżej= LEN (A9) -LEN (SUBSTITUTE (A9, „o”, ””))Powyższa formuła opisuje, że zastosowaliśmy funkcję LEN do zliczenia znaku - LEN (SUBSTITUTE (STARY TEKST, NOWY TEKST), tzn. Stary tekst jest niczym innym jak komórką A9, a nowy tekst to „o”, gdzie liczy tylko określony tekst, który mamy wspomniano i otrzymaliśmy wynik w następujący do zapamiętania na temat liczenia znaków w programie Excel Podczas korzystania z funkcji LEN upewnij się, że nie używasz spacji, aby uniknąć LEN zlicza i zwraca cały tekst, cokolwiek podaliśmy w artykuły Jest to przewodnik po liczeniu znaków w programie Excel. Tutaj omawiamy sposób korzystania z liczby znaków w programie Excel wraz z praktycznymi przykładami i szablonem Excel do pobrania. Możesz także przejrzeć nasze inne sugerowane artykuły -Funkcja Excel COUNTIFFunkcja LEN w programie ExcelPodstawowe formuły programu ExcelTabela programu Excel

Składający wniosek 1 września 2023 lub później, dostaną pieniądze w ciągu dwóch miesięcy od złożenia wniosku. SPRAWDŹ Co zrobić, by nie przepadły twoje pieniądze

Matematyka jest nauką, która buduje świat. Jako naukowiec i prosta osoba - nikt nie może się bez niej obejść. Po pierwsze, małe dzieci uczą się liczyć, a następnie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, oznaczenia literowe wchodzą w grę w liceum, a w starszym nie mogą się bez nich obyć. Ale dzisiaj porozmawiamy o tym, na czym opiera się cała znana matematyka. W społeczności liczb zwanych "limitami sekwencji". Czym są sekwencje i gdzie jest ich limit? Znaczenie słowa "sekwencja" nie jest trudne do zinterpretowania. Jest to konstrukcja rzeczy, w których ktoś lub coś jest ułożone w określonej kolejności lub kolejce. Na przykład kolejka do biletów do zoo - jest sekwencją. I może być tylko jeden! Jeśli, na przykład, przyjrzeć się kolejce w sklepie - jest to jedna sekwencja. A jeśli jedna osoba nagle opuści tę linię, to jest kolejna linia, kolejna kolejność. Słowo "limit" można łatwo zinterpretować - to koniec czegoś. Jednak w matematyce granicami sekwencji są te wartości na linii liczb, do której dąży sekwencja liczb. Dlaczego szuka i nie kończy? Wszystko jest proste, linia liczbowa nie ma końca, a większość sekwencji, takich jak promienie, ma tylko początek i wygląda tak: x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ... Stąd definicja sekwencji jest funkcją naturalnego argumentu. W prostszych słowach jest to seria członków jakiegoś zbioru. Jak zbudowana jest sekwencja numeryczna? Najprostszy przykład sekwencji liczbowej może wyglądać tak: 1, 2, 3, 4, ... n ... W większości przypadków, z przyczyn praktycznych, sekwencje są zbudowane z liczb, a każdy następny element serii, oznaczony przez X, ma swoją własną nazwę. Na przykład: x 1 - pierwszy członek sekwencji; x 2 - drugi członek sekwencji; x 3 - trzeci członek; ... x n to n -ty termin. W praktycznych metodach sekwencję podaje wzór ogólny, w którym występuje pewna zmienna. Na przykład: X n = 3n, wtedy sama seria liczb będzie wyglądać następująco: x 1 = 3; x 2 = 6; x 3 = 9; i tak dalej Nie należy zapominać, że w ogólnym zapisie sekwencji można używać dowolnych łacińskich liter, nie tylko X. Na przykład: y, z, k itd. Postęp arytmetyczny jako część sekwencji Zanim przejdziemy do granic ciągów, wskazane jest głębiej zagłębić się w samą koncepcję takiej serii liczbowej, którą wszyscy napotkali będąc w klasach średnich. Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi członami jest stała. Zadanie: "Niech 1 = 15, a krok postępu szeregu liczbowego d = 4. Zbuduj pierwszych 4 członków tej serii. " Rozwiązanie: 1 = 15 (według warunku) - pierwszy członek progresji (seria liczbowa). a 2 = 15 + 4 = 19 jest drugim członkiem progresji. i 3 = 19 + 4 = 23 - trzeci członek. a 4 = 23 + 4 = 27 to czwarty członek. Jednak ta metoda jest trudna do osiągnięcia dużych wartości, takich jak 125 .. Zwłaszcza w takich przypadkach uzyskano formułę wygodną do ćwiczenia: a n = a 1 + d (n - 1). W tym przypadku 125 = 15 + 4 (125-1) = 511. Rodzaje sekwencji Większość sekwencji jest nieskończona, warto ją zapamiętać na całe życie. Istnieją dwa interesujące typy serii liczbowych. Pierwszy jest podany za pomocą wzoru a n = (- 1) n . Matematycy często nazywają tę sekwencję flasher. Dlaczego? Sprawdź jego serię numeryczną. -1, 1, -1, 1, -1, 1 itd. Przy takim przykładzie staje się jasne, że liczby w sekwencjach można łatwo powtarzać. Sekwencja czynnikowa. Łatwo zgadnąć - silnia jest obecna w formule definiującej sekwencję. Na przykład: a n = (n + 1)! Następnie sekwencja będzie wyglądać następująco: a 1 = 1x2 = 2; a 2 = 1x2x3 = 6; a 3 = 1x2x3x4 = 24 itd. Sekwencja określona przez postęp arytmetyczny nazywana jest nieskończenie malejącą, jeśli nierówność -1 jest obserwowana dla wszystkich jej członków. n = (-1/2) n . a 1 = - ½; a 2 = ¼; a 3 = - 1/8 itd. Istnieje nawet sekwencja składająca się z tej samej liczby. Zatem n = 6 składa się z nieskończonego zbioru szóstek. Określanie limitu sekwencji Limity sekwencji od dawna istnieją w matematyce. Oczywiście zasłużyli sobie na własny, kompetentny projekt. Czas więc poznać definicję granic sekwencji. Po pierwsze, rozważ szczegółowo ograniczenie funkcji liniowej: Wszystkie ograniczenia są ograniczone w skrócie. Zapis limitu składa się ze skrótu lim, pewnej zmiennej zmierzającej do pewnej liczby, zera lub nieskończoności, a także od samej funkcji. Łatwo zrozumieć, że definicję limitu sekwencji można sformułować w następujący sposób: jest to pewna liczba, do której wszyscy członkowie sekwencji nieskończenie się zbliżają. Prosty przykład: a x = 4x + 1. Wtedy sama sekwencja będzie wyglądać tak. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... Tak więc, ta sekwencja będzie wzrastać w nieskończoność, a zatem jej granica jest równa nieskończoności jako x → ∞, a to powinno być napisane w następujący sposób: Jeśli weźmiemy podobną sekwencję, ale x będzie miało tendencję do 1, otrzymamy: a x = 4x + 1. Cykl liczb będzie następujący: i tak dalej. Za każdym razem musisz zastąpić liczbę większą i zbliżoną do jednej (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tej serii jasno wynika, że limit funkcji wynosi pięć. Z tej części warto zapamiętać, jaka jest granica kolejności liczbowej, definicja i metoda rozwiązywania prostych zadań. Ogólne oznaczenie granicy ciągów Po zbadaniu granicy sekwencji liczbowej, jej definicji i przykładów możemy przejść do bardziej złożonego tematu. Absolutnie wszystkie granice sekwencji można sformułować za pomocą jednej formuły, która jest zwykle analizowana w pierwszym semestrze. Co oznacza ten zbiór liter, modułów i znaków nierówności? ∀ - Kwantyfikator uniwersalności, zastępujący frazy "dla wszystkich", "dla wszystkich" itp. ∃ - Kwantyfikator istnienia, w tym przypadku oznacza, że istnieje pewna wartość N należąca do zbioru liczby naturalne. Długi pionowy drążek, następujący po N, oznacza, że dany zbiór N jest "taki, który". W praktyce może oznaczać "takie, że", "takie które" itp. Dalej jest moduł. Oczywiście moduł jest odległością, która z definicji nie może być ujemna. Więc moduł różnicy jest ściśle mniejszy niż "epsilon". Aby skonsolidować materiał, przeczytaj formułę na głos. Niepewność i definitywność limitu Metoda znajdowania limitu sekwencji, o której była mowa powyżej, jest prosta w użyciu, ale nie tak racjonalna w praktyce. Spróbuj znaleźć ograniczenie dla takiej funkcji: Jeśli podstawimy różne wartości "X" (za każdym razem wzrastając: 10, 100, 1000 itd.), To w liczniku otrzymamy ∞, ale w mianowniku również ∞. Okazuje się dość dziwny ułamek: Ale czy to naprawdę? Obliczyć granicę sekwencji liczbowej w tym przypadku wydaje się dość łatwe. Byłoby możliwe pozostawienie wszystkiego takim, jakie jest, ponieważ odpowiedź jest gotowa i została przyjęta na rozsądnych warunkach, ale jest inna metoda specjalnie dla takich przypadków. Na początek znajdujemy najwyższą moc w liczniku ułamka - jest to 1, ponieważ x można przedstawić jako x 1 . Teraz znajdujemy najwyższą moc w mianowniku. Również 1. Dzielimy licznik i mianownik na zmienną w najwyższym stopniu. W tym przypadku frakcja jest podzielna przez x 1 . Następnie dowiemy się, jaką wartość ma każdy dodatek zawierający zmienną. W tym przypadku ułamek. Jako x → ∞ wartość każdej z frakcji ma tendencję do zera. Wykonując pracę pisemną, warto przytoczyć takie przypisy: Otrzymano następujące wyrażenie: Oczywiście, frakcje zawierające x nie stały się zerami! Ale ich wartość jest tak mała, że nie można jej wziąć pod uwagę przy obliczaniu. W rzeczywistości, x nigdy nie będzie równe 0 w tym przypadku, ponieważ zero nie może być podzielone. Czym jest sąsiedztwo? Przypuśćmy, że profesor ma do dyspozycji złożoną sekwencję, oczywiście podaną nie mniej złożoną formułą. Profesor znalazł odpowiedź, ale czy jest odpowiedni? W końcu wszyscy ludzie się mylą. Auguste Cauchy w swoim czasie wymyślił świetny sposób na udowodnienie granic sekwencji. Jego metoda nazywała się operowaniem sąsiedztwa. Załóżmy, że istnieje jakiś punkt a, jego sąsiedztwo w obu kierunkach na linii liczbowej to ε ("epsilon"). Ponieważ ostatnia zmienna to odległość, jej wartość jest zawsze dodatnia. Teraz definiujemy pewną sekwencję x n i przyjmujemy, że dziesiąty termin sekwencji (x 10 ) wchodzi w okolicę a. Jak napisać ten fakt w języku matematycznym? Załóżmy, że x 10 znajduje się na prawo od punktu a, wtedy odległość wynosi x 10 -a 0, a całe sąsiedztwo ma swoją własną naturalną liczbę N, tak, że wszystkie elementy sekwencji o bardziej znaczących liczbach będą wewnątrz sekwencji | x n - a | -3 + 1 / ε. Ponieważ warto pamiętać, że mówimy o liczbach naturalnych, wynik można zaokrąglić, umieszczając w nawiasach kwadratowych. W ten sposób udowodniono, że dla każdej wartości sąsiedztwa "epsilon" punktu a = 0 istniała wartość taka, że początkowa nierówność utrzymuje się. Z tego możemy śmiało powiedzieć, że liczba a jest limitem danej sekwencji. Co trzeba było udowodnić. Przy tak wygodnej metodzie można udowodnić granicę sekwencji liczbowej, jednak na pierwszy rzut oka może się to wydawać skomplikowane. Najważniejsze - nie panikuj na widok pracy. A może nie jest? Istnienie sekwencji granicznej jest w praktyce opcjonalne. Możesz łatwo znaleźć taką serię liczb, które naprawdę nie mają końca. Na przykład ten sam flasher x n = (-1) n . jest oczywiste, że sekwencja składająca się tylko z dwóch liczb, cyklicznie powtarzających się, nie może mieć granicy. Ta sama historia jest powtarzana z sekwencjami składającymi się z jednej liczby, ułamkowej, mającej w trakcie obliczeń niepewność dowolnej kolejności (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 itd.). Należy jednak pamiętać, że ma również miejsce błędne obliczenie. Czasami ograniczenie sekwencji pomoże ponownie sprawdzić własne rozwiązania. Sekwencja monotoniczna Powyżej rozważaliśmy kilka przykładów sekwencji, metod ich rozwiązywania, a teraz spróbujemy przyjąć bardziej konkretny przypadek i nazwać go "sekwencją monotoniczną". Definicja: rzetelne jest wywoływanie dowolnej sekwencji monotonnie rosnącej, jeśli zachowana jest dla niej surowa nierówność x n x n +1 dla niej zachodzi . Wraz z tymi dwoma warunkami istnieją również podobne słabe nierówności. Odpowiednio, x n ≤ x n +1 (nie malejąca sekwencja) i x n ≥ x n +1 (sekwencja nie rosnąca). Ale łatwiej jest to zrozumieć na przykładach. Sekwencja podana za pomocą wzoru x n = 2 + n tworzy następującą serię liczb: 4, 5, 6 itd. Jest to monotonicznie rosnąca sekwencja. A jeśli weźmiemy x n = 1 / n, otrzymamy serię: 1/3, ¼, 1/5 itd. Jest to sekwencja monotonicznie malejąca. Granica zbieżnej i ograniczonej sekwencji Ograniczona sekwencja - sekwencja z ograniczeniem. Sekwencja zbieżna to seria liczb, która ma nieskończenie mały limit. Zatem granica sekwencji ograniczonej jest dowolna ważna lub liczba zespolona. Pamiętaj, że może istnieć tylko jeden limit. Granica sekwencji zbieżnej jest nieskończenie małą (rzeczywistą lub złożoną). Jeśli narysujesz diagram sekwencji, to w pewnym momencie zdaje się zbiegać, aby dążyć do przejścia do określonej wartości. Stąd nazwa - sekwencja zbieżna. Monotonny limit Limit takiej sekwencji może być lub może nie być. Na początku przydatne jest zrozumienie, kiedy jest, od którego można odepchnąć, gdy udowadnia brak limitu. Wśród monotonna sekwencje emitują zbieżne i rozbieżne. Zbieżność jest sekwencją utworzoną przez zbiór x i ma rzeczywisty lub złożony limit w zbiorze. Rozbieżność - sekwencja, która nie ma limitu w swoim zbiorze (ani rzeczywistym, ani złożonym). Co więcej, sekwencja zbiega się, jeśli jej obraz geometryczny zbiega się z górnymi i dolnymi granicami. Granica sekwencji zbieżnej w wielu przypadkach może być równa zeru, ponieważ każda nieskończenie mała sekwencja ma znaną granicę (zero). Niezależnie od sekwencji zbieżności, wszystkie są ograniczone, ale nie wszystkie ograniczone sekwencje zbiegają się. Suma, różnica, iloczyn dwóch zbieżnych sekwencji jest również sekwencją zbieżną. Jednak iloraz może być również zbieżny, jeśli jest zdefiniowany! Różne akcje z ograniczeniami Granice sekwencji są tak samo znaczące (w większości przypadków), jak liczby i liczby: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Okazuje się, że niektóre operacje mogą być wykonywane z ograniczeniami. Po pierwsze, podobnie jak liczby i liczby, limity dowolnych sekwencji można dodawać i odejmować. Na podstawie trzeciego twierdzenia o granicach ciągów zachowuje się następująca równość: granica sumy sekwencji równa się sumie ich granic. Po drugie, w oparciu o czwarte twierdzenie o granicach sekwencji, prawdziwa jest następująca równość: granica iloczynu n-tej liczby sekwencji jest równa iloczynowi ich granic. To samo odnosi się do podziału: granica ilorazu dwóch sekwencji jest równa ilorazowi ich granic, pod warunkiem, że limit nie wynosi zero. W końcu, jeśli granica ciągów równa się zero, otrzymamy dzielenie przez zero, co jest niemożliwe. Właściwości sekwencji Wydaje się, że limit sekwencji liczbowej został już szczegółowo przeanalizowany, ale takie wyrażenia, jak "nieskończenie małe" i "nieskończenie duże", są wymieniane więcej niż raz. Oczywiście, jeśli istnieje sekwencja 1 / x, gdzie x → ∞, to taka frakcja jest nieskończenie mała, a jeśli ta sama sekwencja, ale granica dąży do zera (x → 0), to frakcja staje się nieskończenie dużą wielkością. I takie ilości mają swoje własne cechy. Właściwości limitu sekwencji o dowolnych małych lub dużych wartościach są następujące: Suma dowolnej ilości arbitralnie małych ilości będzie również niewielką ilością. Suma dowolnej liczby dużych ilości będzie nieskończenie dużą ilością. Iloczyn arbitralnie małych ilości jest nieskończenie mały. Iloczyn dużej liczby jest nieskończenie dużą wartością. Jeśli oryginalna sekwencja zmierza do nieskończenie dużej liczby, to wielkość przeciwległa do niej będzie nieskończenie mała i będzie miała tendencję do zera. W rzeczywistości obliczanie granicy sekwencji nie jest tak trudnym zadaniem, jeśli znasz prosty algorytm. Ale granice sekwencji - temat wymagający maksymalnej uwagi i wytrwałości. Oczywiście wystarczy po prostu uchwycić istotę rozwiązania takich wyrażeń. Zaczynając od małych, z czasem osiągasz duże szczyty.

Granice ciągów, zadanie 1. Podaj wzór na granicę ciągu liczbowego liczba mniejsza od 1 podniesiona do potęgi n-tej - rozwiązanie krok po kroku. Podaj wzór na granicę ciągu - zad.

Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Twierdzenie Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe. Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną: Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy. Przykład Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: w punkcie równym Obliczamy granicę lewostronną: Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji: Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Granica lewostronna i prawostronna funkcji Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcjia) w punkcie x0=2b) w punkcie x0=-3Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronneObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:a) w punkcie x0=1b) w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica prawostronna i lewostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=-1Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiSąsiedztwo punktuCo to jest sąsiedztwo punktu?Granica funkcjiGranica funkcji w punkcie, podstawowe wzory, obliczanie granic, definicja Heinego oraz Cauchy' niewłaściwa funkcjiCo to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?Granica funkcji w nieskończonościDefinicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernychTest wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2010-05-12, ART-860 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

1 jednostka astronomiczna (1 AU) to średnia odległość między Ziemią a Słońcem (1 AU = 1,49597870 x 10^11 m). Za pomocą tej jednostki określa się odległości w Układzie Słonecznym. Jest to bardzo obrazowa metoda, bo pozwala wyobrazić sobie odległości do ciał niebieskich jako wielokrotność odległości Ziemia-Słońce.

Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352

Niezależnie czy jesteś starym wyjadaczem w świecie Star Wars, czy też dopiero zaczynasz swoją przygodę z sagą Gwiezdnych Wojen, LEGO Star Wars: The Skywalker Saga Steam klucz to interaktywna podróż przez wszystkie dziewięć części serii filmowej Gwiezdne Wojny, tym razem w zupełnie nowej odsłonie gier LEGO, która spodoba się tak samo dzieciom, jak dorosłym!

Spis treści1. Co to jest ciąg liczbowy?2. Ciągi ograniczone3. Ciągi monotoniczne4. Ciąg arytmetyczny5. Ciąg geometryczny6. Granice Granice właściwe i niewłaściwe - definicje7. Jak liczyć granice właściwe ciągów? Granice ciągów - podstawowe Twierdzenie o trzech Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera8. Twierdzenie o dwóch ciągach9. Symbole Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?11. Jak liczyć granice ciągów w kalkulatorze Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne1. Co to jest ciąg liczbowy?Ciągi liczbowe najczęściej oznacza się symbolami:\[(a_n),\,\,\,(b_n),\,\,\,(c_n),\,\,\,\textrm{itd.}\] Oto kilka przykładów:Ciąg \(a_n\) jest skończony, ponieważ zawiera tylko pięć wyrazów (liczb):\[(a_n)=(1,\,2,\,3,\,4,\,5)\]Ciąg \(b_n\) zawiera tylko dwie liczby:\[(b_n)=(\sin(1),\,\sin(3))\]Ciągi \(c_n\) i \(d_n\) są nieskończone, ponieważ zawierają nieskończenie wiele liczb (oznaczamy to trzema kropkami na końcu ...):\[(c_n)=\left(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},...\right)\]\[(d_n)=\big(-2\sqrt{2},\,-4\sqrt{2},\,-8\sqrt{2},...\big)\]Więcej przykładów ciągów znajdziesz w internetowej encyklopedii ciągów liczbowych (spróbuj wpisać kilka liczb po przecinku, kliknij "Search" i zobacz czy Twój ciąg został już przez kogoś "wynaleziony" ;-)Ciąg liczbowy to funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, a tak po ludzku to poprostu ponumerowany zbiór elementów (liczb).Wyrazy ciągu liczbowego (czyli jego elementy) oznaczamy przez:\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,...\]\[b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,...\]Dla przykładu pierwszy wyraz ciągu \((a_n)=(1,2,3,4,5,...)\), to \(a_1=1\), piąty wyraz to \(a_5=5\), setny wyraz to \(a_{100}=100\).Ciągi liczbowe można określać na różne sposoby:1. za pomocą wzoru, (tzw. wzór ogólny ciągu) - podaje się jeden ogólny przepis na każdy z wyrazów ciągu: Przykład 1\[a_n=n\,-\,\textrm{wzór ciągu}\]Wzór ciągu stanowi przepis jak tworzyć kolejne wyrazy, zobacz sam (bierzemy \(n=1,2\) i \(n=100\)):\[a_1=1,\,\,\,a_2=2,\,...,\,a_{100}=100\]Przykład 2\[b_n=\sin(2n-1)\,-\,\textrm{wzór}\]Chcąc zapisać jakiś wyraz ciągu musimy zastąpić indeks \(n\) konkretną liczbą:\[b_1=\sin(1),\,\,\,b_2=\sin(3),\,\,\,b_3=\sin(5),\,\,\,b_4=\sin(7),\,...,\,b_{9}=\sin(2\cdot 9-1)=\sin(17)\]Przykład 3\[c_n=\frac{(-1)^n}{4}\,-\,\textrm{wzór}\]Ciąg może mieć wyrazy różniące się tylko znakiem (plus, minus):\[c_1=-\frac{1}{4},\,\,\,c_2=\frac{1}{4},\,\,\,c_3=-\frac{1}{4},\,\,\,c_4=\frac{1}{4},\,...,\,c_{31}=\frac{(-1)^{31}}{4}=-\frac{1}{4}\]Przykład 4\[d_n=-2^n\sqrt{2}\,-\,\textrm{wzór}\]Kilka wyrazów ciągu:\[d_1=-2\sqrt{2},\,\,\,d_2=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]2. rekurencyjnie - podaje się jeden lub kilka pierwszych wyrazów ciągu, a każdy następny wyraz można zapisać za pomocą poprzednich wyrazów Przykład 1Ciąg arytmetyczny\[a_1=2,\,\,\,a_{n+1}=a_n+1\]Pierwszy wyraz jest ustalony i wynosi 1. Każdy następny wyraz ciągu (zaczynając od drugiego) tworzymy przez dodanie liczby 1 do poprzedniego wyrazu:\[a_1=2,\,\,\,a_2=a_1+1=2+1=3,\,\,\,a_{3}=a_{2}+1=3+1=4\]Przykład 2Ciąg geometryczny:\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_{n+1}=2 b_n\]Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest podany (np. \(-2\sqrt{2}\)), każdy następny wyraz (począwszy od drugiego) tworzymy przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez jakąś liczbę (np. 2):\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_2=2b_1=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]Przykład 3Ciąg Fibbonaciego:\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}\]Pierwsze dwa wyrazy są równe 1, każdy następny wyraz poczynając od trzeciego jest równy sumie dwóch poprzednich:\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_3=c_2+c_1=1+1=2,\,\,\,c_{4}=c_3+c_2=2+1=3\]3. opisowo, poprzez podanie (słownie) własności jednoznacznie określającej ciąg: Przykład\[a_n\,-\,\textrm{n-ta liczba pierwsza}\]\[a_1=2,\,\,\,a_2=3,\,\,\,a_3=5,\,\,\,a_4=7,\,\,\,a_5=11,\,\,\,a_6=13,\,\,\,a_7=17\]4. wypisując wyrazy ciągu - sprawdza się szczególnie w przypadku ciągów skończonych: PrzykładyCiągi skończone:\[\left(1,1,1,1,1\right)\]\[\left(\pi,-2\pi,e,e^\pi,\pi^e\right)\]Ciągi nieskończone:\[\left(1,1,1,1,1,...\right)\]Przy takim opisie ciągu nieskończonego, musimy się domyślić jak wyglądają dalsze wyrazy powyższym przykładzie wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.\[\left(1,-1,1,-1,1,-1,...\right)\]Wyrazy powyższego ciągu to na przemian 1 i Ciągi liczbowe, podobnie jak pochodne i granice funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy Ciągi ograniczoneCiąg liczbowy \((a_n)\) jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\), czyli: \[\exists\, D\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\](istnieje liczba rzeczywista \(D\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge D\]PrzykładCiąg \(a_n=n\) jest ograniczony z dołu, ponieważ:\[a_n=n\ge 1=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:\[a_1=1,\,a_2=2,\,a_3=3,\,a_4=4,...\]Widać, że ciąg "startuje" od liczby 1 i ciągle się zwiększa, więc na pewno każdy jego wyraz jest większy (bądź równy) od \((a_n)\) jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego wyrazy są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli: \[\exists\, G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieje liczba rzeczywista \(G\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le G\]PrzykładCiąg \(a_n=1-n\) jest ograniczony z góry, ponieważ:\[a_n=1-n\le 0=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:\[a_1=0,\,a_2=-1,\,a_3=-2,\,a_4=-3,...\]Widać, że ciąg "startuje" od liczby 0 i się zmniejsza, więc na pewno każdy jego wyraz jest mniejszy (bądź równy) od \((a_n)\) jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\) i jednocześnie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli gdy jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry: \[\exists\, D,G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieją liczby rzeczywiste \(D\) i \(G\), takie, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzą nierówności)\[D\le a_n\le G\]PrzykładCzy ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony?Krok 1Warto wypisać sobie kilka wyrazów ciągu:\[a_1=\frac{1}{1}=1,\,\,a_2=\frac{1}{2},\,\,a_3=\frac{1}{3},\,\,\,a_4=\frac{1}{4}\]Krok 2Widać, że ciąg jest ograniczony z góry przez liczbę \(G=1\), czyli:\[a_n=\frac{1}{n}\le 1=G,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]Krok 3Można też zauważyć, że wyrazy ciągu \(a_n\) są coraz mniejsze wraz ze wzrostem indeksu n, jednak są zawsze większe od \(D=0\), czyli:\[a_n=\frac{1}{n}> 0=D,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]Dlatego ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu przez \(D=0\).Ktok 4Ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu i z góry, zatem jest Ciągi monotoniczneMonotoniczność ciągu oznacza, że ciąg jest stały lub rosnący lub niemalejący lub malejący lub liczbowy \((a_n)\) jest stały, gdy jego wyrazy pozostają takie same wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1=a_2=a_3=...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość) \[a_n=a_{n+1}\]Przykład\[a_n=1\,-\,\textrm{ciąg stały}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=1=a_{n+1}\]np. dla \(n=1\) mamy:\[a_1=1=a_{2}\]Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest rosnący, gdy jego wyrazy zwiększają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1a_2>a_3>...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n> a_{n+1}\]Przykład\[a_n=\frac{1}{n}\,-\,\textrm{ciąg malejący}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}\]np. dla \(n=3\) mamy:\[a_3=\frac{1}{3}>\frac{1}{4}=a_{4}\]Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest nierosnący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge a_{n+1}\]Przykład\[a_n=-n\,-\,\textrm{ciąg nierosnący}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=-n\ge -(n+1)=a_{n+1}\]np. dla \(n=4\) mamy:\[a_4=-4\ge -5=a_{5}\]Istnieje też pojęcie monotoniczności w ścisłym sensie, co oznacza, że ciąg jest rosnący lub sprawdzić monotoniczność ciągu w praktyce?Monotoniczność ciągu \((a_n)\) możesz ustalić analizując znak różnicy\[a_{n+1}-a_n\]lub, gdy ciąg \(a_n\) ma wyrazy dodatnie badając relację między liczbą 1, a wyrażeniem\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\]Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n>0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\]Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący, gdy\[a_{n+1}-a_n\ge 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\]Ciąg \((a_n)\) jest malejący, gdy\[a_{n+1}-a_n0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1\]PrzykładJak wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n+1}\) jest malejący?Sposób ISprawdzamy jaki jest znak wyrażenia \(a_{n+1}-a_n\), tj.\[a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}=\]\[=\frac{n+1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}0\)malejący, gdy \(r0\) i \(q>1\) lub \(a_11\) lub \(a_1>0\) \(00\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[|a_n-g|0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[a_n>\epsilon\]Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty\), czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-\infty\]wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[a_n0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\]Granica z silnią:\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{A^n}{n!}=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\,A>0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n!}=0\]Granica pierwiastka n-tego stopnia z n:\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1\]Granica pierwiastka n-tego stopnia z liczby dodatniej:\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{A}=1,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>0\]Granice nieskończone:\[\lim\limits_{n\to\infty} n^p=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,p>0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} n=\infty\]\[\lim\limits_{n\to\infty} n^n=\infty\]Granice ciągu geometrycznego:\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>1\]\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,|A|n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty}c_n=g\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=g\]Przykład:Wykarzemy, że granica ciągu \(\frac{\sin n}{n^2}\) jest równa 0, czyli:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]Zauważmy, że dla wszystkich \(n\in \mathbb{N}\):\[\frac{-1}{n^2}\le \frac{\sin n}{n^2}\le \frac{1}{n^2}\]ponieważ \(\sin(n)\in[-1,1]\), ponadto:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{-1}{n^2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0\]Zatem z Twierdzenia o 3 ciągch mamy:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]Poniżej znajdziesz przykłady ciągów występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 ciągch:\[-1\le \sin n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-1\le \cos n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, n\le \frac{\pi}{2},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[0\le arcctg\, n\le \pi,\,\,\,n\in\mathbb{N}\] Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zeraZ twierdzenia o trzech ciągach wynika następujący przydatny fakt:Jeżeli ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, a ciąg \((b_n)\) jest zbieżny do zera, czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n b_n=0\]Powyższe twierdzenie można udowodnić następująco. Zauważmy, że, gdy ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, to istnieją stałe \(D\) i \(G\), takie, że:\[D\le |a_n| \le G\]Stąd\[D|b_n|\le |a_n\cdot b_n|\le G|b_n|\]Obliczmy teraz granice ciągów ograniczających:\[\lim\limits_{n\to \infty} D|b_n|=D\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]\[\lim\limits_{n\to \infty} G|b_n|=G\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]ponieważ \(\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0\).Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:\[\lim\limits_{n\to \infty} |a_n b_n|=0\]co jest równoważne z faktem, że:\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n b_n=0\]8. Twierdzenie o dwóch ciągachPrzy liczeniu granic niewłaściwych, w których występują ciągi ograniczone z dołu (lub z góry) przez inne ciągi oraz ciągi, których granice nie istnieją, przydatne jest czasami twierdzenie o 2 ciągch:Jeżeli ciągi \((a_n)\) i \((b_n)\) spełniają warunki:\[a_n\le b_n,\,\,\,dla\,\,\,n>n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=\infty\]UWAGA: Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie dla granicy niewłaściwej ciągu równej \(-\infty\).PrzykładKorzystając z twierdzenia o dwóch ciągch uzasadnimy, że:\[\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\]Następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\):\[-1+e^n\le \sin n+e^n\]ponieważ \(\sin n\ge -1\) dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\).Mamy:\[\lim\limits_{n\to \infty}(-1+e^n)=\infty\]Zatem z twierdzenia o dwóch ciągch \(\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\).9. Symbole nieoznaczonelub wyrażenia nieoznaczone, to wyrażenia umowne, które stosuje się przy liczeniu granic ciągu, np. gdy licznik i mianownik zbiegają do zera, tak jak w granicy:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\left[\frac{0}{0}\right]\]Oto pełna lista 7 symboli nieoznaczonych:\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\,\,\,[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]Zapamiętaj, że wyrażenia nieoznaczone nie mają znaczenia liczbowego, bo np, nie można dzielić przez 0, a nieskończoność \(\infty\) to nie liczba tylko obiekt tych wyrażeń są różne w przypadku różnych Z symbolami nieoznaczonymi trzeba bardzo uważać. Zwykle:\[\left[\frac{0}{0}\right]\neq 1\]\[\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\neq 1\]\[[\infty-\infty]\neq 0\]\[[0\cdot \infty]\neq 0\]\[\big[1^{\infty}\big]\neq 1\]\[\big[\infty^0\big]\neq 1\]\[\big[0^0\big]\neq 1\]Nie możesz stosować tu żadnych regułek wyuczonych na pamięć (każdy z tych symoli może dać różne wyniki)!Jeszcze jedno, symbolami nieoznaczonymi nie są wyrażenia typu:\[\left[\frac{A}{\infty}\right],\,\,\textrm{dla}\,A\in\mathbb{R},\,\,\,[\infty+\infty],\,\,\,[\infty\cdot \infty],\,\,\,\left[\infty^{\infty}\right]\]Wyniki takich granic możesz bez problemu obliczyć (są zawsze takie same):\[\left[\frac{A}{\infty}\right]=0\]\[[\infty+\infty]=\infty\]\[[\infty\cdot \infty]=\infty\]\[\left[\infty^{\infty}\right]=\infty\] Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?Bardzo często wystarczy wykonać proste przekształcenie, dzięki któremu można łatwo pozbyć się symbolu nieoznaczonego z granicy ciągu:1. Spróbuj wyciągnąć \(n\) do najwyższej potęgi przed nawias (jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to wyciągnij najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku i skróć co się da).2. Jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to zastosuj rozkład na czynniki lub zastosuj wzór skróconego mnożenia w liczniku i mianowniku, następnie skróć co się wynosi granica ciągu \(\frac{n^2-1}{n-1}\)?Sposób IWyciągniemy n do najwyższej potęgi z licznika i mianownika. W tym przypadku najwyższa potęga to 2, więc wyciągniemy \(n^2\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]Sposób IIUżyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n-1)(n+1)}{n-1}=\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)=+\infty\]10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"\[\color{red}{g+\infty=\infty+g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,-\inftyinfInne przykłady:Granicę ciągu\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2+1}{\sin(n)+2n}\)wpiszesz za pomocą polecenialim (n^2+1)/(sinn+2n) as n->infGranicę ciągu\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n+1}\)wpiszesz za pomocą polecenialim lnn/(n+1) as n->inf12. Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne1. O ciągu \(a_n\) wiadomo, że\[3\le a_n \le 4,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Czy ciąg \(a_n\) jest ograniczony z dołu, z góry, a może jest ograniczony?Z definicji ograniczoności ciągu liczbowego wynika, że ciąg \(a_n\) jest:(a) ograniczony z dołu, ponieważ istnieje liczba \(D=3\), taka, że:\[a_n \ge 3=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\](a) ograniczony z góry, ponieważ istnieje liczba \(G=4\), taka, że:\[a_n \le 4=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\](c) ograniczony, ponieważ jest ograniczony z dołu i z Ciąg \(a_n\) jest utworzony przez liczby nieparzyste. Czy ten ciąg jest monotoniczny?Zacznijmy od wypisania kilku wyrazów ciągu \(a_n\):\[a_1=1,\,\,a_2=3,\,\,a_3=5,\,\,a_4=7,\,\,a_5=9,...\]Na pierwszy rzut oka wygląda na to, że ciąg \(a_n\) stale rośnie... Aby to wykazać, spróbujmy zapisać wzór opisujący wyrazy ciągu liczb nieparzystych (szukamy zeleżności między wypisanymi powyżej wyrazami ciągu). Ten wzór to (sprawdź!):\[a_n=2n-1\]Zauważmy teraz, że:\[a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+1>2n-1=a_n,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]co potwierdza nasze wcześniejsze domysły, że ciąg liczb naturalnych, nieparzystych jest ściśle rosnący (a więc monotoniczny).3. Oblicz granicę ciągu\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\]Skorzystamy z własności potęg (ze wzorów \(\left(\frac{a}{b}\right)^c=\frac{a^c}{b^c}\) oraz \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)), z własności granic ciągów (granica ilorazu jest ilorazem granic) oraz z podstawowego wzoru na granicę ciągu \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1\]4. Oblicz granicę ciągu\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}\]Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Zauważmy, że:\[\frac{-1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}\]ponieważ \(-1\le (-1)^n\le 1\) (przyjmuje na przemian wartości 1 i -1). Ponadto:\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{-1}{n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\]Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}=0\]Zrób kolejny krok i ucz się granic ciągów na przykładach

Oblicz granicę ciągu Post autor: luna1518 » 23 maja 2010, o 09:26 a mógłbyś rozpisać przykład a i c. Bo w a dziele każde wyrażenie przez \(\displaystyle{ 4^{n}}\) ale nie wiem później jak uprościć, tzn, jak z tymi potęgami się uporać Często podczas rozwiązywania zadań z granicy ciągów trzeba skorzystać z definicji. Definicja Stałą liczbę \(g\) nazywamy granicą ciągu (\(a_n\)), jeżeli dla każdego dodatniego, dowolnie małego \(\epsilon\), istnieje taka liczba \(N\), że wszystkie wartości \(a_n\) o wskaźniku \(n \gt N\) spełniają nierówność: \[|a_n - g|\lt \epsilon \]

jak policzyć granice ciągu ((n^2+2)/(2*n^2+1)^(n^2) Matematyka.pl Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki

W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości. W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}}\) Niech \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }b_n=b}\). Wtedy zachodzą poniższe równości: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n+b_n)=a+b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b}\) O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}}\) Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) są ograniczone (to znaczy, istnieje stała \(\displaystyle{ M}\), taka że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(2') } \lim_{ n\to \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(3) } \lim_{ n\to \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(4) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(5) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(6) } \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n =e}\) \(\displaystyle{ \mbox{TW. 11}}\) Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) o niezerowych wyrazach spełnia: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g}\), wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g}\) Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż") \(\displaystyle{ \mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}}\) \(\displaystyle{ \mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{5. }a_n= \left( \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3}\) \(\displaystyle{ \mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n}}\) dla \(\displaystyle{ q>1}\), \(\displaystyle{ k>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ c>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}}\) \(\displaystyle{ \mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{20. }a_n= \left( \frac{n+5}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{21. }a_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}}\) \(\displaystyle{ \mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{28. }a_n= \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}}\) Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach". 7MJjP.